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Cálculo Infinitesimal de Varias Variables by Juan de Bugos

By Juan de Bugos

L. a. presente obra va dirigida a aquellos estudiantes que, después de haber seguido un primer curso de cálculo infinitesimal, de una variable, deben continuar su formación en esta disciplina, ya sean alumnos de ciencias matemáticas o físicas, de ingeniería o arquitectura, de informática, de ciencias económicas o empresariales

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F(x) + g(x) (fg)(x) = f(x)g(x) , y ------- Para este último conjunto gt;(C, IR), la relación::::; definida mediante [f ::::; g] ~ [f(x)::::; g(x), 'ti XEC] es un orden (parcial, salvo si C tuviera un solo elemento). Si o es la función,nula (o sea = 0, 'ti x E C), se dice que una función f es positiva si es o ::::; f y se dice que es negativa si es f ::::; o. Se dice que una función f: C ~ IRq está acotada si su imagen f(C) es un conjunto acotado de IRq, esto es, si existe K> tal que Ilf(x)ll ::::; K para todo x E C.

Si es f(x) < g(x) «para X cerca de a» <*), entonces es 1 ~ m. Sify g tienen el mismo límite 1, en el punto a, y si esf(x) ~ h(x) ~ g(x) «para X cerca de a» <*l, entonces h tiene límite 1 en a (regla del emparedado). 1. 2. 3. Demostración 1. La primera parte de esta propiedad se obtiene directamente de la condición «8: (j» de límite, tomando 8 = 1 - k; para x E e en el correspondiente entorno B*(a, (j) es If(x) - I1 < 8 y, por tanto, k < f(x). La segunda parte es la contrarrecíproca de la primera, por lo que también es cierta.

Si f es continua en a, entonces f tiene límite finito en a, luego (véase [12J ,3) f está acotada «cerca de a». a se verifica, pues, en el entorno de a que tiene radio (j . [161 1 Ejercicio Seaf: e - t IRq una función, definida en un conjunto definida mediante: Ilfll : e -t IR, e e IRq, y considérese la función Il f ll , Ilfl l(x) = Ilf(x)11 Si f es continua en a, pruébese que también Ilf ll es continua en a. com/ 44 TOPOLOGÍA, LÍMITES Y CONTINUIDAD Resolución ° Dado e > 0, al aplicar la condición «e: (j» de continuidad a la funciónJ en el punto a, se sabe que existe un (j > tal que Por tanto, si x E e es [x E e, Ilx - all < (j] tal que Ilx - a ll < (j, ~ IIJ(x) - J(a)11 < e se verifica que: III J II(x) - II J II(a)1 = IIIJ(x)11 - IIJ(a)111 :( II J(x) - J(a)11 < e luego, para la función IIJII yen el punto a, se verifica la condición «e: (j» de continuidad, es decir, IIJII es continua en a.

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